$\beta$関手とStone-Čechコンパクト化の諸性質
集合 $Y$ と位相空間 $X$、および写像 $\phi: \beta Y \to X$ が与えられている。 $f = \phi \circ \iota_Y$ とおくとき、等式 $$\beta f = \iota_X \circ \phi$$ は常に成立するか？
1. 集合圏（Sets）における検討と反例
結論から述べると、単なる集合と写像の枠組み（連続性を仮定しない場合）において、この等式は一般には成立しません。
反例の構成
$Y$ を自然数の集合 $\mathbb{N}$、$X$ を2点集合 $\{0, 1\}$ とします。
$\beta \mathbb{N}$ には少なくとも1つの自由ウルトラフィルター（どの有限集合も含まないウルトラフィルター）が存在します。これを $U_\infty \in \beta \mathbb{N}$ とします。
ここで、写像 $\phi: \beta \mathbb{N} \to \{0, 1\}$ を次のように定義します：
- $U$ が単項ウルトラフィルター $\iota_{\mathbb{N}}(n)$ であるとき： $\phi(U) = 0$
- $U$ が自由ウルトラフィルターであるとき（$U_\infty$ を含む）： $\phi(U) = 1$
(1) 左辺 $\beta f$ の評価
$f = \phi \circ \iota_{\mathbb{N}}: \mathbb{N} \to \{0, 1\}$ を考えると、すべての $n \in \mathbb{N}$ に対して $f(n) = \phi(\iota_{\mathbb{N}}(n)) = 0$ です。つまり $f$ は定数写像です。したがって、$\beta f$ はすべてのウルトラフィルターを $\iota_X(0)$ に写します。 $$\beta f(U_\infty) = \iota_X(0)$$
(2) 右辺 $\iota_X \circ \phi$ の評価
$\phi$ の定義により $\phi(U_\infty) = 1$ なので、 $$(\iota_X \circ \phi)(U_\infty) = \iota_X(\phi(U_\infty)) = \iota_X(1)$$
$\iota_X(0) \neq \iota_X(1)$ であるため、自由ウルトラフィルター上で値が異なり、等式は成立しません。
2. 位相空間圏（Top）における成立
$\phi: \beta Y \to X$ が連続写像であるという条件が加わると、等式は常に成立します。
成立の論理的証明
- 部分集合上の一致： $\iota$ は自然変換 $\text{Id} \to \beta$ であるため、任意の $f: Y \to X$ に対し $\beta f \circ \iota_Y = \iota_X \circ f$ が成立する。 ここに $f = \phi \circ \iota_Y$ を代入すると： $$(\beta f) \circ \iota_Y = (\iota_X \circ \phi) \circ \iota_Y$$ となり、$\beta Y$ の部分空間である $\iota_Y(Y)$ 上で両辺は一致する。
- 写像の連続性： $\beta f$ は定義により連続である。また、$\phi$ が連続であり $\iota_X: X \to \beta X$ も連続であるため、合成写像 $\iota_X \circ \phi$ も連続である。
- Hausdorff性と稠密性： $\beta X$ はコンパクト Hausdorff 空間であり、$\iota_Y(Y)$ は $\beta Y$ において稠密である（後述の証明参照）。 Hausdorff 空間への連続写像が稠密な部分集合上で一致するならば、空間全体で一致する。
（証明終）
3. 基礎となる定理の詳細な証明
定理 A: $\iota_Y(Y)$ の $\beta Y$ における稠密性
$\beta Y$ の位相の基底を $\hat{A} = \{ \mathcal{U} \in \beta Y \mid A \subseteq Y, A \in \mathcal{U} \}$ とする。
【証明】
$\beta Y$ の空でない任意の開集合 $G$ をとる。基底の定義より、ある空でない $A \subseteq Y$ に対して $\hat{A} \subseteq G$ となる。
$A$ は空ではないので、ある元 $y \in A$ が存在する。このとき、単項ウルトラフィルター $\iota_Y(y)$ は $A$ を元として持つため（$A \in \iota_Y(y)$）、定義により $\iota_Y(y) \in \hat{A}$ である。
したがって $\iota_Y(y) \in G$ となり、$\iota_Y(Y) \cap G \neq \emptyset$ が示された。よって $\iota_Y(Y)$ は $\beta Y$ において稠密である。$\square$
定理 B: 連続写像の一致の定理
【証明】
$g, h: S \to Z$ を連続写像、$Z$ を Hausdorff 空間とする。稠密な $A \subseteq S$ 上で $g(a) = h(a)$ とする。
ある $s \in S$ で $g(s) \neq h(s)$ と仮定する。$Z$ の Hausdorff 性より、$g(s)$ と $h(s)$ の互いに素な開近傍 $V_g, V_h$ が存在する。
連続性より、$g^{-1}(V_g)$ と $h^{-1}(V_h)$ は共に $s$ の開近傍である。その共通部分 $U = g^{-1}(V_g) \cap h^{-1}(V_h)$ も $s$ の開近傍であり、空ではない。
$A$ の稠密性より、ある $a \in A \cap U$ が存在する。このとき $g(a) \in V_g$ かつ $h(a) \in V_h$ であるが、仮定 $g(a) = h(a)$ より $V_g \cap V_h \neq \emptyset$ となり、互いに素であることに矛盾する。$\square$
4. 連続性の有無による比較
| 特性 | 集合圏（Sets） | 位相空間圏（Top） |
|---|---|---|
| 自由ウルトラフィルターの挙動 | 単項ウルトラフィルターの像とは独立に決定可能 | 単項ウルトラフィルターの極限として一意に決定 |
| 等式の成立 | $\phi$ の定義に依存（反例あり） | 常に成立する |
| 背景理論 | 単なる関手性 | Stone-Čechコンパクト化の普遍性 |
5. カテゴリー論的視点：随伴性と普遍性
Stone-Čechコンパクト化の普遍性は、包含関手 $U: \mathbf{KHaus} \to \mathbf{Top}$ の左随伴関手として理解できます。
任意の連続写像 $f: Y \to X$ に対して、その延長である $\bar{f}: \beta Y \to X$ が唯一存在します。 問題の $\phi$ が連続であるという仮定は、$\phi$ がまさに $f$ のStone-Čech延長としての役割を果たしていることを意味します。連続写像としての「延長の一意性」が、$\beta f$ と $\phi$ の（埋め込みを通じた）一致を強制しているのです。